Zadanie 5

Trzy planety poruszają się w centralnym polu grawitacyjnym gwiazdy G po orbitach $O_1, O_2$ i $O_3$ . Wszystkie planety obiegają gwiazdę w jedną stronę, a ich orbity leżą w jednej płaszczyźnie. Orbita $O_1$ jest eliptyczna, natomiast orbity $O_2$ i $O_3$ są kołowe. Punkt A jest punktem stycznym orbit $O_1$ i $O_2$ , a punkt B jest punktem stycznym orbit $O_1$ i $O_3$ .
Na rys. 1. narysowano i oznaczono wektor prędkości planety na orbicie $O_1$ w punkcie A. Wektor prędkości tej samej planety na orbicie $O_1$ w punkcie B oznaczymy $\vec{v}_{1B}$ , natomiast wektor prędkości planety na orbicie $O_2$ w punkcie A oznaczymy $\vec{v}_{2A}$ , a wektor prędkości planety na orbicie $O_3$ w punkcie B oznaczymy $\vec{v}_{3B}$ .

W wykropkowane miejsca poniżej wpisz właściwe relacje: większy, równy, mniejszy (>, =, <), między wartościami prędkości planet w danych punktach na poszczególnych orbitach.

a) $v_{1A}$ ........... $v_{1B}$ (analizuj rys. 1.)
b) $v_{2A}$ ........... $v_{3B}$ (analizuj rys. 2. i rys. 3.)
c) $v_{1B}$ ............ $v_{3B}$ (analizuj rys. 1. i rys. 3.)

Rysunek do zadania 5 – matura z fizyki maj 2019

a) $v_{1A} > v_{1B}$
b) $v_{2A} > v_{3B}$
c) $v_{1B} < v_{3B}$

Wyjaśnienie:
a) Z II prawa Keplera (lub zasady zachowania momentu pędu) wynika, że planeta porusza się szybciej, gdy jest bliżej gwiazdy. Punkt A jest peryhelium orbity eliptycznej $O_1$ (najbliżej gwiazdy), a punkt B jest aphelium (najdalej), zatem w punkcie A prędkość jest większa.
b) Prędkość na orbicie kołowej wyraża się wzorem $v = \sqrt{GM/r}$ . Orbita $O_2$ ma mniejszy promień niż orbita $O_3$ ( $r_A < r_B$ ), więc prędkość na orbicie $O_2$ ( $v_{2A}$ ) jest większa niż na $O_3$ ( $v_{3B}$ ).
c) W punkcie B planeta na orbicie $O_1$ jest w aphelium. Aby poruszała się po orbicie kołowej o tym promieniu ( $O_3$ ), musiałaby mieć prędkość $v_{circ} = \sqrt{GM/r_B}$ . Ponieważ jednak planeta na orbicie $O_1$ "spada" z powrotem w stronę gwiazdy (tor jest elipsą wewnątrz koła), jej prędkość w aphelium jest mniejsza niż prędkość wymagana do utrzymania orbity kołowej o tym samym promieniu. Zatem $v_{1B} < v_{3B}$ .

DZIAŁY

ARKUSZE

ROZWIĄZANIE