Zadanie 4

Zapiszemy warunek równowagi sił, gdy skrzynia jest pchana siłą $\vec{F}_1$ i porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Rozkładamy siły na składowe poziome i pionowe.
W pionie: $N_1 = mg + F_1 \sin\alpha$
W poziomie: $F_1 \cos\alpha = T_1 = \mu N_1 = \mu (mg + F_1 \sin\alpha)$

Zapiszemy analogiczny warunek równowagi sił, gdy skrzynia jest ciągnięta siłą $\vec{F}_2$.
W pionie: $N_2 = mg - F_2 \sin\alpha$
W poziomie: $F_2 \cos\alpha = T_2 = \mu N_2 = \mu (mg - F_2 \sin\alpha)$

Z pierwszego równania wyznaczamy mg: $F_1 \cos\alpha - \mu F_1 \sin\alpha = \mu mg \Rightarrow \mu mg = F_1(\cos\alpha - \mu \sin\alpha)$
Z drugiego równania wyznaczamy mg: $F_2 \cos\alpha + \mu F_2 \sin\alpha = \mu mg \Rightarrow \mu mg = F_2(\cos\alpha + \mu \sin\alpha)$

Przyrównujemy stronami:
$F_1(\cos\alpha - \mu \sin\alpha) = F_2(\cos\alpha + \mu \sin\alpha)$

$F_1 = F_2 \frac{\cos\alpha + \mu \sin\alpha}{\cos\alpha - \mu \sin\alpha}$

Dla $\alpha = 45^{\circ}$ mamy $\sin\alpha = \cos\alpha$, zatem:
$F_1 = F_2 \frac{1 + \mu}{1 - \mu}$

Dla $\mu = 0,5$:
$F_1 = F_2 \frac{1 + 0,5}{1 - 0,5} = F_2 \frac{1,5}{0,5} = 3F_2$