Zadanie 3.3

Skorzystamy z zasady zachowania energii podczas ruchu bryły sztywnej. Energia kinetyczna bryły jest równa sumie energii kinetycznej ruchu postępowego punktu środka masy i ruchu obrotowego względem środka masy. Energia potencjalna bryły to energia potencjalna punktu środka masy. Zatem:
$E_{kin\,ruch\,post} + E_{kin\,ruch\,obr} = E_{pot\,graw}$

Skorzystamy ze wzorów na energię kinetyczną ruchu obrotowego względem danej osi, ruchu postępowego i energię potencjalną:
$\frac{1}{2}I_S \omega^2 + \frac{1}{2}mv_S^2 = mgh_S \rightarrow \frac{1}{2}I_S \omega^2 + \frac{1}{2}mv_S^2 = mg\left(\frac{l}{2}\right)\sin\alpha_0$

Skorzystamy ze związku $v_S = \omega \frac{l}{2}$ oraz $v_B = \omega l$ oraz ze wzoru na moment bezwładności $I_S = \frac{1}{12}ml^2$:
$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{12}ml^2 \omega^2 + \frac{1}{2}m\left(\omega \frac{l}{2}\right)^2 = mg\frac{l}{2}\sin\alpha_0$
$\frac{1}{24}ml^2 \omega^2 + \frac{1}{8}ml^2 \omega^2 = mg\frac{l}{2}\sin\alpha_0$
$\frac{4}{24}ml^2 \omega^2 = \frac{1}{6}ml^2 \omega^2 = mg\frac{l}{2}\sin\alpha_0$

$\frac{1}{3}v_B^2 = gl\sin\alpha_0 \rightarrow v_B = \sqrt{3gl\sin\alpha_0}$

Obliczymy prędkość końcową kulki z zasady zachowania energii (spadek swobodny z wysokości $h = l\sin\alpha_0$):
$mgh = \frac{1}{2}mv_k^2 \rightarrow gl\sin\alpha_0 = \frac{1}{2}v_k^2 \rightarrow v_k = \sqrt{2gl\sin\alpha_0}$

Iloraz wartości prędkości:
$\frac{v_B}{v_k} = \frac{\sqrt{3gl\sin\alpha_0}}{\sqrt{2gl\sin\alpha_0}} = \sqrt{\frac{3}{2}} \approx 1,22$