Zadanie 4.4

Praca, jaką wykonała siła ciągu silników podczas przemieszczania satelity $S_A$ z orbity $\mathcal{A}$ na orbitę $\mathcal{B}$, jest równa różnicy energii mechanicznych $E_B$ i $E_A$, jakie ma ten satelita, gdy porusza się swobodnie po orbitach $\mathcal{A}$ i $\mathcal{B}$:
$W_{AB} = E_B - E_A$

Wyprowadzimy wyrażenie na energię mechaniczną, gdy satelity $S_A$ porusza się swobodnie z prędkością $v_A$ po orbicie kołowej $\mathcal{A}$ o promieniu $r_A$. Energia mechaniczna jest równa sumie energii kinetycznej i potencjalnej grawitacji:
$E_A = E_{kin} + E_{pot} = \frac{1}{2}mv_A^2 + \left(-\frac{GM_Z m}{r_A}\right)$

Wykorzystamy fakt, że siła grawitacji pełni rolę siły dośrodkowej:
$\frac{mv_A^2}{r_A} = \frac{GM_Z m}{r_A^2} \rightarrow mv_A^2 = \frac{GM_Z m}{r_A}$

Zależność podstawimy do wzoru na energię mechaniczną:
$E_A = \frac{1}{2} \frac{GM_Z m}{r_A} - \frac{GM_Z m}{r_A} = -\frac{1}{2}\frac{GM_Z m}{r_A}$

Analogicznie dla orbity $\mathcal{B}$:
$E_B = -\frac{1}{2}\frac{GM_Z m}{r_B}$

Wzory podstawimy do wyrażenia na pracę:
$W_{AB} = -\frac{1}{2}\frac{GM_Z m}{r_B} - \left(-\frac{1}{2}\frac{GM_Z m}{r_A}\right) = \frac{GM_Z m}{2}\left(\frac{1}{r_A} - \frac{1}{r_B}\right)$