Zadanie 1

Odległość $d$ pomiędzy samochodami zwiększa się (licząc od chwili $t_{0} = 0$) w takim czasie, w jakim samochód $\mathcal{F}$ ma większą prędkość od samochodu $\mathcal{P}$. W chwili $t_{max}$, gdy wartości prędkości obu samochodów zrównają się, ta odległość będzie największa. Wynika to z faktu, że licząc od chwili $t_{max}$, wartość prędkości samochodu $\mathcal{P}$ staje się większa od wartości prędkości samochodu $\mathcal{F}$, a zatem odległość pomiędzy samochodami będzie malała – do momentu, gdy $\mathcal{P}$ dogoni $\mathcal{F}$.

Samochód $\mathcal{P}$ od chwili $t_{0} = 0$ poruszał się ruchem jednostajnie przyśpieszonym, zatem zależność prędkości tego samochodu od czasu dana jest wzorem:
$v_{P} = v_{0P} + at \rightarrow v_{P} = 20 + 6t$

Przyrównamy wartości prędkości obu samochodów i obliczymy $t_{max}$ – czas, po jakim odległość pomiędzy samochodami będzie największa:
$v_{P} = v_{\mathcal{F}}$
$20 + 6t_{max} = 35 \rightarrow t_{max} = 2,5\,s$

Obliczymy odległość $d_{max}$ pomiędzy samochodami w chwili $t_{max}$. Przyjmiemy, że w chwili $t_{0} = 0$ samochód policyjny $\mathcal{P}$ znajdował się w położeniu $x_{0P} = 0$, a samochód osobowy $\mathcal{F}$ znajdował się w położeniu $x_{0F} = 40\,m$. Określimy położenia $x_{P}, x_{\mathcal{F}}$ obu samochodów w chwili $t_{max}$.
Skorzystamy z równań ruchu jednostajnie przyśpieszonego prostoliniowego (dla $\mathcal{P}$) i ruchu jednostajnego prostoliniowego (dla $\mathcal{F}$):
$x_{P} = v_{0P}t + \frac{1}{2}at^{2} \rightarrow x_{P}(t_{max}) = 20 \cdot 2,5 + \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot (2,5)^{2} = 68,75\,m$
$x_{\mathcal{F}} = d_{0} + v_{\mathcal{F}}t \rightarrow x_{\mathcal{F}}(t_{max}) = 40 + 35 \cdot 2,5 = 127,5\,m$

Odległość maksymalna $d_{max}$ między samochodami jest równa różnicy położeń obu samochodów w chwili $t_{max}$.
$d_{max} = 127,5\,m - 68,75\,m = 58,75\,m$