Zadanie 4.3

Praca, jaką wykonała siła ciągu silników podczas przemieszczania satelity $S_A$ z orbity $O_A$ na orbitę $O_B$, jest równa różnicy energii mechanicznych $E_B$ i $E_A$, jakie ma satelita na orbitach $O_B$ i $O_A$. Zatem:
$W_{AB} = E_B - E_A$

Wyprowadzimy wyrażenie na energię mechaniczną, gdy satelita porusza się swobodnie z prędkością orbitalną o wartości $v_A$ po orbicie $O_A$.
Energia mechaniczna jest równa sumie energii kinetycznej i energii potencjalnej grawitacji:
$E_A = E_{kin\,A} + E_{pot\,graw\,A} = \frac{1}{2}mv_A^2 + \left(-\frac{GM_Z m}{r_A}\right)$

Następnie wyznaczymy wartość prędkości orbitalnej $v_A$. Wykorzystamy fakt, że siła grawitacji pełni rolę siły dośrodkowej:
$\frac{mv_A^2}{r_A} = \frac{GM_Z m}{r_A^2} \rightarrow v_A^2 = \frac{GM_Z}{r_A}$

Związek podstawimy do wzoru na energię mechaniczną satelity na orbicie $O_A$:
$E_A = \frac{1}{2}m\frac{GM_Z}{r_A} - \frac{GM_Z m}{r_A} = -\frac{1}{2}\frac{GM_Z m}{r_A}$

Analogiczny wzór na energię mechaniczną obowiązuje dla satelity krążącego po orbicie $O_B$:
$E_B = -\frac{1}{2}\frac{GM_Z m}{r_B}$

Wyznaczymy pracę $W_{AB}$. Z rysunku wynika, że promień $r_A$ to 1 jednostka, a $r_B$ to 3 jednostki, czyli $r_B = 3r_A$.
$W_{AB} = -\frac{1}{2}\frac{GM_Z m}{3r_A} - \left(-\frac{1}{2}\frac{GM_Z m}{r_A}\right) = \frac{GM_Z m}{2}\left(\frac{1}{r_A} - \frac{1}{3r_A}\right) = \frac{GM_Z m}{2r_A} \cdot \frac{2}{3} = \frac{GM_Z m}{3r_A}$